Πράξεις συνόλων

Μάθημα από τη Θεωρία Συνόλων.

Υπάρχουν δύο βασικές πράξεις συνόλων, η ένωση και η τομή. Άλλες πράξεις συνόλων είναι η αφαίρεση, το καρτεσιανό γινόμενο, η ύψωση σε φυσικό και το δυναμοσύνολο. Επιπλέον, δύο βασικές έννοιες είναι το υποσύνολο και το υπερσύνολο.

Ένωση

Για παράδειγμα η ένωση το συνόλων Α={1,4,9} και Β={10,4,7} είναι το σύνολο Γ={1,4,9,10,7}.

Η ένωση δύο συνόλων Α και Β συμβόλιζεται: Α$\cup$Β

Έτσι στο παραπάνω παράδειγμα είναι: Γ=Α$\cup$Β

Τομή

Για παράδειγμα η τομή το συνόλων Α={1,4,9} και Β={10,4,7} είναι το σύνολο Γ={4}.

Η τομή δύο συνόλων Α και Β συμβόλιζεται: Α$\cap$Β

Έτσι στο παραπάνω παράδειγμα είναι: Γ=Α$\cap$Β

Ξένα σύνολα

Για παράδειγμα τα σύνολα Α={1,3,7} και Β={4,9,23} είναι ξένα μεταξύ τους και ισχύει: Α$\cap$Β=$\mathrm{\varnothing }$

Ο πληθάριθμος της ένωσης δύο ξένων συνόλων είναι το άθροισμα των δύο ξένων συνόλων. Έτσι, ισχύει:

card(A)+card(B)=3+3=6

card(Α$\cup$Β)=card({1,3,7,4,9,23})=6=card(A)+card(B)

Αφαίρεση

Για παράδειγμα αφαίρεση του συνόλου Α={1,4,10} από το Β={1,5,10} είναι το σύνολο Γ={5}.

Η αφαίρεση του Α από το Β συμβολίζεται με Β-Α. Έτσι, στο παραπάνω παράδειγμα είναι: Γ=Β-Α

Η αφαίρεση Β-Α είναι σύνολο ξένο με το Α. Ισχύουν οι παρακάτω σχέσεις:

Α$\cup$Β=(Α-Β)$\cup$(Α$\cap$Β)$\cup$(Β-Α)

Τα σύνολα Α-Β, Α$\cap$Β, Β-Α είναι ξένα μεταξύ τους.

card(Α$\cup$Β)=card(Α-Β)+card(Α$\cap$Β)+card(Β-Α)

(Καρτεσιανό) γινόμενο

Είναι γνωστό από τη γραμμική άλγεβρα ότι ζεύγος ονομάζεται μια διατεταγμένη δυάδα στοιχείων, ενώ το ζεύγος των α, β συμβολίζεται με (α,β).

Για παράδειγμα το γινόμενο των συνόλων Α={1,3,5} και Β={1,8,2,12} είναι το:

Α$\times$B={(1,1),(1,8),(1,2),(1,12),(3,1),(3,8),(3,2),(3,12),(5,1),(5,8),(5,2),(5,12)}

Επίσης, ισχύει η σχέση:

card(A$\times$B)=card(A)$\times$card(B)

Ύψωση σε φυσικό

Για παράδειγμα Α={1,2,3}, τότε:

Α³={(1,1,1),(1,1,2),(1,1,3),(1,2,1),(1,2,2),(1,2,3),(1,3,1),(1,3,2),(1,3,3),(2,1,1),(2,1,2),(2,1,3),(2,2,1),(2,2,2),(2,2,3),(2,3,1),(2,3,2),(2,3,3),(3,1,1),(3,1,2),(3,1,3),(3,2,1),(3,2,2),(3,2,3),(3,3,1),(3,3,2),(3,3,3)}

Επίσης, ισχύει η σχέση:

card(Aⁿ)=(card(A))ⁿ

Δυναμοσύνολο

Για παράδειγμα το δυναμοσύνολο του Α={1,2,3} είναι το Β={$\mathrm{\varnothing }$,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}.

Συμβολίζεται με 2^Α. Ισχύει: card(2^Α)=2^card(Α)

Διάταξη συνόλων

Για παράδειγμα το Α={1,2,3} είναι υποσύνολο του Β={1,2,5,4,3}.

Συμβολίζεται με $A\subseteq B$

Για παράδειγμα το Β={1,2,5,4,3} είναι υπερσύνολο του Α={1,2,3}.

Συμβολίζεται με $B\supseteq A$

Αν ένα σύνολο είναι υποσύνολο και υπερσύνολο ενός άλλου συνόλου, τα δύο σύνολα είναι ίσα.

Κάθε σύνολο είναι υποσύνολο και υπερσύνολο του εαυτού του.

Για παράδειγμα το Α={1,2,3} είναι γνήσιο υποσύνολο του Β={1,2,5,4,3}.

Συμβολίζεται με $A\subset B$

Για παράδειγμα το Β={1,2,5,4,3} είναι γνήσιο υπερσύνολο του Α={1,2,3}.