Ο νόμος του Γκάους

Ορίζουμε σαν ροή του ηλεκτρικού πεδίου το μονόμετρο μέγεθος Φ που ορίζεται από την σχέση $\mathrm{\Phi }={\oint }_S\overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{S}=\sum _{i=1}^n\frac{Q_i}{{ϵ}_0}$ όπου $\overrightarrow{S}\overrightarrow{E}S$ είναι το διάνυσμα της επιφάνειας, το διάνυσμα της έντασης του πεδίου και το εμβαδόν της επιφάνειας αντίστοιχα. Η παραπάνω σχέση είναι η μαθηματική διατύπωση του θεωρήματος του Gauss σύμφωνα με το οποίο: 'Η ροή που περνάει από κλειστή επιφάνεια είναι ανάλογη του αλγεβρικού αθροίσματος των φορτίων που περικλείει η επιφάνεια'.

Αν η πυκνότητα των φορτίων $\rho$ είναι γνωστή σε κάθε σημείο του χώρου, τότε όπως είναι γνωστό το ολικό φορτίο του χώρου δίδεται από την σχέση $\sum Q_i=\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }\rho d\mathrm{\Omega }$. Έτσι από τον νόμο του Gauss, προκύπτει ${\oint }_S\overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{S}=\frac{1}{{ϵ}_0}\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }\rho d\mathrm{\Omega }$ η οποία μετασχηματίζεται στην διαφορική έκφραση του νόμου του Gauss: $\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{E}=\frac{1}{{ϵ}_0}\rho$ και ισχύει για κάθε σημείο του χώρου όπου η πυκνότητα φορτίων είναι ρ.