Ολοκληρώματα

Η έννοια του ολοκληρώματος

Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη και συνεχής σ' ένα διάστημα $\mathrm{[}\mathrm{\alpha },\mathrm{\beta }\mathrm{]}\mathrm{\subset }ℝ\mathrm{:}\mathrm{f}\mathrm{(}\mathrm{x}\mathrm{)}\mathrm{\ge }\mathrm{0},\mathrm{\forall }\mathrm{x}\mathrm{\in }\mathrm{[}\mathrm{\alpha },\mathrm{\beta }\mathrm{]}$. Για να υπολογίσουμε το εμβαδόν (Ε) της επιφάνειας που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f, τον άξονα x΄x και τις ευθείες x = α και x = β.

Βήμα 1ο

Επειδή η f είναι συνεχής στο [α,β] παρουσιάζει μια ελάχιστη (μ) και μια μέγιστη (Μ) τιμές, για τις οποίες ισχύουν:

$\mathrm{\mu }\mathrm{\le }\mathrm{f}\mathrm{(}\mathrm{x}\mathrm{)},\mathrm{\forall }\mathrm{x}\mathrm{\in }\mathrm{[}\mathrm{\alpha },\mathrm{\beta }\mathrm{]}$
$\mathrm{M}\mathrm{\ge }\mathrm{f}\mathrm{(}\mathrm{x}\mathrm{)},\mathrm{\forall }\mathrm{x}\mathrm{\in }\mathrm{[}\mathrm{\alpha },\mathrm{\beta }\mathrm{]}$

Είναι φανερό ότι: ${\mathrm{S}}_{\mathrm{\mu }}\mathrm{\le }\mathrm{E}\mathrm{\le }{\mathrm{S}}_{\mathrm{M}}$, όπου ${\mathrm{S}}_{\mathrm{\mu }}\mathrm{=}\mathrm{\mu }\mathrm{(}\mathrm{\beta }\mathrm{-}\mathrm{\alpha }\mathrm{)}$ και ${\mathrm{S}}_{\mathrm{M}}\mathrm{=}\mathrm{M}\mathrm{(}\mathrm{\beta }\mathrm{-}\mathrm{\alpha }\mathrm{)}$

Βήμα 2ο

Έστω τώρα ένα σημείο ${\mathrm{x}}_{\mathrm{1}}\mathrm{\in }\mathrm{[}\mathrm{\alpha },\mathrm{\beta }\mathrm{]},{\mathrm{x}}_{\mathrm{1}}\mathrm{=}\frac{\alpha +\beta }{2}$. Επειδή η f είναι συνεχής στο [α,β] είναι συνεχής και στα υποδιαστήματα [α,x₁] και [x₁,β]. ΄Αρα, όπως στο «βήμα 1ο», η f παρουσιάζει ελάχιστες (μ₁ και μ₂) και μέγιστες (Μ₁ και Μ₂) τιμές στα υποδιαστήματα [α,x₁] και [x₁,β], για τα οποία ισχύουν:

${\mathrm{\mu }}_{\mathrm{1}}\mathrm{\le }\mathrm{f}\mathrm{(}\mathrm{x}\mathrm{)},\mathrm{\forall }\mathrm{x}\mathrm{\in }\mathrm{[}\mathrm{\alpha },{\mathrm{x}}_{\mathrm{1}}\mathrm{]}$
${\mathrm{\mu }}_{\mathrm{2}}\mathrm{\le }\mathrm{f}\mathrm{(}\mathrm{x}\mathrm{)},\mathrm{\forall }\mathrm{x}\mathrm{\in }\mathrm{[}{\mathrm{x}}_{\mathrm{1}},\mathrm{\beta }\mathrm{]}$
${\mathrm{M}}_{\mathrm{1}}\mathrm{\ge }\mathrm{f}\mathrm{(}\mathrm{x}\mathrm{)},\mathrm{\forall }\mathrm{x}\mathrm{\in }\mathrm{[}\mathrm{\alpha },{\mathrm{x}}_{\mathrm{1}}\mathrm{]}$
${\mathrm{M}}_{\mathrm{2}}\mathrm{\ge }\mathrm{f}\mathrm{(}\mathrm{x}\mathrm{)},\mathrm{\forall }\mathrm{x}\mathrm{\in }\mathrm{[}{\mathrm{x}}_{\mathrm{1}},\mathrm{\beta }\mathrm{]}$

Είναι φανερό ότι: ${\mathrm{S}}_{{\mathrm{\mu }}_{\mathrm{1}}}\mathrm{+}{\mathrm{S}}_{{\mathrm{\mu }}_{\mathrm{2}}}\mathrm{\le }\mathrm{E}\mathrm{\le }{\mathrm{S}}_{{\mathrm{M}}_{\mathrm{1}}}\mathrm{+}{\mathrm{S}}_{{\mathrm{M}}_{\mathrm{2}}}$, όπου ${\mathrm{S}}_{{\mathrm{\mu }}_{\mathrm{1}}}\mathrm{=}{\mathrm{\mu }}_{\mathrm{1}}\mathrm{(}{\mathrm{x}}_{\mathrm{1}}\mathrm{-}\mathrm{\alpha }\mathrm{)},{\mathrm{S}}_{{\mathrm{\mu }}_{\mathrm{2}}}\mathrm{=}{\mathrm{\mu }}_{\mathrm{2}}\mathrm{(}\mathrm{\beta }\mathrm{-}{\mathrm{x}}_{\mathrm{1}}\mathrm{)},{\mathrm{S}}_{{\mathrm{M}}_{\mathrm{1}}}\mathrm{=}{\mathrm{M}}_{\mathrm{1}}\mathrm{(}{\mathrm{x}}_{\mathrm{1}}\mathrm{-}\mathrm{\alpha }\mathrm{)}$ και ${\mathrm{S}}_{{\mathrm{M}}_{\mathrm{2}}}\mathrm{=}{\mathrm{M}}_{\mathrm{2}}\mathrm{(}\mathrm{\beta }\mathrm{-}{\mathrm{x}}_{\mathrm{1}}\mathrm{)}$

Βήμα νιοστό

Όμοια χωρίζουμε το διάστημα [α,β] σε ν ίσα κομμάτια:
[x₀,x₁], [x₁,x₂],... [x_ν-1,x_ν], όπου α = x₀ < x₁ <...< x_ν-1 < x_ν = β.

• Η διαδικασία αυτή ονομάζεται «διαμέριση διαστήματος».

• (Συνεχίζεται...)
• Επιστροφή στο Τμήμα Μαθηματικών