Βασικό τυπολόγιο παραγώγων πραγματικών συναρτήσεων πραγματικής μεταβλητής

Οι παρακάτω τύποι ισχύουν υπό την προϋπόθεση ότι τα σύμβολα έχουν νόημα, δηλαδή αν υπάρχουν οι παράγωγοι που εμφανίζονται. Το x είναι η ανεξαρτητη μεταβλητή και a είναι μια μη μηδενική σταθερά.

• Βασικές παράγωγοι ως προς x:

$\frac{da}{dx}=0$	$\frac{d\ln x}{dx}=\frac{1}{x}$
$\frac{dx}{dx}=1$	$\frac{d\sin x}{dx}=\cos x$
$\frac{d{x}^a}{dx}=a\cdot x^{a-1}$ (εννοείται x $\ne$ 0,1)	$\frac{d\cos x}{dx}=-\sin x$
$\frac{d{e}^x}{dx}=e^x$	$\frac{dtanx}{dx}=\frac{1}{co{s}^{2}x}$

• Κανόνες παραγώγισης:

$\frac{d(af(x))}{dx}=a\frac{df(x)}{dx}$

$\frac{d(f(x)+g(x))}{dx}=\frac{df(x)}{dx}+\frac{dg(x)}{dx}$1

$\frac{d(f(x)\cdot g(x))}{dx}=\frac{df(x)}{dx}\cdot g(x)+f(x)\frac{dg(x)}{dx}$

$\frac{d\frac{f(x)}{g(x)}}{dx}=$$\frac{\frac{df(x)}{dx}\cdot g(x)-f(x)\cdot \frac{dg(x)}{dx}}{g^2(x)}$2

$\frac{d(g(f(x)))}{dx}=\frac{dg(f(x))}{d𝐟\mathbf{(}𝐱\mathbf{)}}\cdot \frac{df(x)}{dx}$ (κανόνας της αλυσίδας)3

Πρότυπο:Σημείωση ¹:Ισχύει επαγωγικά ο τύπος και για περισσότερους όρους της πρόσθεσης, δηλαδή $\frac{d(f_1(x)+f_2(x)+\dots +f_{\nu }(x))}{dx}=\frac{d{f}_1(x)}{dx}+\frac{d{f}_2(x)}{dx}+\dots +\frac{d{f}_{\nu }(x)}{dx}$
²: Ισχύει υπό την προϋπόθεση ότι g(x) διάφορο του μηδενός κοντά στο σημείο εύρεσης της παραγώγου.
³: Ισχύει μόνο αν η f δε γίνεται κάπου σταθερή (σύμφωνα με το σχολικό βιβλίο μαθηματικών της Γ΄Λυκείου). Αν στην περιοχή εύρεσης της παραγώου η f είναι σταθερή, τότε η παράγωγος ισούται με 0 κοντά στο σημείο εύρεσης της παραγώγου. Εξ' άλλου η g δε μεταβάλλεται σε κάποια περιοχή μόνο και μόνο αν df(x)=0 σε αυτήν την περιοχή, άρα δε μπορεί να εφαρμοστεί ο κανόνας.

Παραδείγματα εφαρμογής των κανόνων

• $\frac{d{\alpha }^x}{dx}=\frac{d(e^{lna}{)}^x}{dx}=\frac{d{e}^{lna\cdot x}}{dx}=\frac{d{e}^{lna\cdot x}}{d(lna\cdot x)}\frac{d(lna\cdot x)}{dx}=e^{lna\cdot x}\cdot lna=lna\cdot a^x$
• $\frac{dln(ax)}{dx}=\frac{dln(ax)}{dax}\cdot \frac{d(ax)}{dx}=\frac{1}{(ax)}\cdot a\cdot \frac{dx}{dx}=\frac{1}{x}$

• $\frac{d\sin (a\cdot x)}{dx}=\frac{d\sin (a\cdot x)}{d(ax)}\cdot \frac{dax}{dx}=\cos (a\cdot x)\cdot a\cdot \frac{dx}{dx}=a\cos (a\cdot x)$

*Προσοχή: Οι δύο παραπάνω τύποι ισχύουν, γιατί η συνάρτηση f(x)=ax δεν είναι σταθερή σε κανένα σημείο, ως γνήσια μονότονη.

• $\frac{d(9x^3-2x^2+x-10)}{dx}=\frac{d(9x^3)}{dx}+\frac{d(-2x^2)}{dx}+\frac{dx}{dx}+\frac{d(-10)}{dx}=9\frac{d{x}^3}{dx}-2\frac{d{x}^2}{dx}+1+0=9\cdot 3x^2-2\cdot 2x+1=27x^2-4x+1$

επιστροφή στο τμήμα μαθηματικών