Χωρητικότητα και διηλεκτρικά

Οι πυκνωτές είναι διατάξεις που μας βοηθούν στην αποθήκευση ηλεκτρικής ενέργειας έτσι ώστε να μπορούμε να την χρησιμοποιήσουμε αργότερα. Εφαρμογή των πυκνωτών βρίσκουμε στα διάφορα ηλεκτρονικά, π.χ. ηλεκτρονικούς υπολογιστές, κεραίες ραδιοφωνικών πομπών, ραδιόφωνα κτλ. Στα παρακάτω είδη πυκνωτών, θεωρούμε ότι μεταξύ των οπλισμών υπάρχει κενό ή αέρας, έτσι ώστε ο συντελεστής ηλεκτρικής διαπερατότητας να ισούται με ${ϵ}_0$. Εννοείται εαν αντικατασταθεί ο αέρας με άλλο διηλεκτρικό, ο συντελεστής αυτός αντικαθίσταται με $ϵ=(1+\chi ){ϵ}_0$.

Είδη Πυκνωτών

Επίπεδος Πυκνωτής

Ο επίπεδος πυκνωτής αποτελείται από δύο παράλληλες μεταλικές πλάκες μεταξύ των οποίων υπάρχει το διηλεκτρικό. Ο κάθε οπλισμός είναι φορτισμένος με φορτίο Q (+Q ο ένας ο οποίος και ονομάζεται θετικός οπλισμός και αντίστοιχα -Q ο αρνητικός οπλισμός). Για λόγους συμετρίας και ισχύος του νόμου του Κουλόμπ ο καθένας αποκτά αποκτά επιφανειακή πυκνότητα φορτίου +σ για τον θετικό οπλισμό και -σ ο αρνητικός. Η ένταση μέσα στον πυκνωτή δίδεται από την σχέση $\overrightarrow{E}=\frac{\sigma }{{ϵ}_0}\hat{e}$ όπου $\hat{e}$ είναι το μοναδιαίο διάνυσμα με φορά από τον αρνητικό οπλισμό προς τον θετικό.

Εάν d είναι η απόσταση ανάμεσα στους οπλισμούς του, τοτε σύμφωνα με τον ορισμό του δυναμικού, το δυναμικό που αποκτά ο κάθε οπλισμός του πυκνωτή είναι $V=E\cdot d=\frac{\sigma }{{ϵ}_0}d=\frac{d}{{ϵ}_{0}S}Q$ δηλαδή προκύπτει διαφορά δυναμικού ανάμεσα στους οπλισμούς του πυκνωτή ανάλογη του φορτίου Q του πυκνωτή. Έτσι, η χωρητικότητα C του πυκνωτή δίδεται από την σχέση $C=\frac{Q}{V}=\frac{{ϵ}_{0}S}{d}$

Σφαιρικός Πυκνωτής

Ο σφαιρικός πυκνωτης αποτελείται από δύο ομόκεντρες σφαίρες εκ των οποία η εσωτερική έχει ακτίνα α και η εξωτερική (ακτίνας β) είναι συνδεδεμένη με την γη. Από τον ορισμό του ηλεκτρικού δυναμικού και πάλι, η διαφορά δυναμικού δίδεται από την σχέση$\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}(\frac{Q}{\alpha }-\frac{Q}{\beta })=\frac{Q}{4\pi {ϵ}_0}(\frac{1}{\alpha }-\frac{1}{\beta })$.

Έτσι, $C=\frac{Q}{V}=4\pi {ϵ}_0\frac{\alpha \beta }{\beta -\alpha }$. Από την σχέση αυτή προκύπτει ότι $\underset{b\to \mathrm{\infty }}{\lim }C=4\pi {ϵ}_0\alpha$.

Κυλινδρικός Πυκνωτής

Ο κυλινδρικός πυκνωτής μοιάζει με τον σφαιρικό στο γεγονός ότι αποτελείται δύο ομόκεντρους κυλίνδρους εκ των οποίων ο εσωτερικός έχει ακτίνα α και είναι συνήθως φορτισμένος ενώ ο εξωτερικός έχει ακτίνα β και είναι συνήθως γειωμένος. Εάν λ είναι η γραμμική πυκνότητα του φορτίου, τότε η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου σε ένα σημείο απόστασης r από τον άξονα του πυκνωτή δίδεται από την σχέση $\overrightarrow{E}=\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\frac{2\lambda }{r}$. Άρα το δυναμικό V δίδεται από την σχέση $V=\underset{\alpha }{\overset{\beta }{\int }}\overrightarrow{E}dr=\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}2\lambda \underset{\alpha }{\overset{\beta }{\int }}\frac{dr}{r}=\frac{2\lambda }{4\pi {ϵ}_0}ln\frac{\beta }{\alpha }$.

Σύμφωνα με τα όσα έχουμε γράψει μέχρι τώρα και τις παραπάνω πράξεις,

$C=\frac{4\pi {ϵ}_0}{2ln\frac{\beta }{\alpha }}=\frac{2\pi {ϵ}_0}{ln\frac{\beta }{\alpha }}$

Διηλεκτρικά

Κάθε υλικό έχει μια σταθερά κ που ονομάζεται διηλεκτρική σταθερά. Η σταθερά αυτή ισούται με τον λόγο της χωρητικότητας ενός πυκνωτή που ανάμεσα στους οπλισμούς του έχει το συγκεκριμένο υλικό προς την αντίστοιχη χωρητικότητα όταν ανάμεσα στους οπλισμούς υπάρχει το κενό. Τα υλικά αυτά τα οποία μηδενίζουν την διηλεκτρική σταθερά, ονομάζονται διηλεκτρικά και είναι το αντίστοιχο των μονωτών στην ηλεκτρικό πεδίο.

Διάνυσμα Πόλωσης

Γνωρίζουμε ότι σε ένα ηλεκτρικά ουδέτερο άτομο, το κέντρο των θετικών φορτίων και το κέντρο των αρνητικών φορτίων ταυτίζονται. Όταν το άτομο ατό όμως βρεθεί μέσα σε ηλεκτρικό πεδίο, τότε τα κέντρα αυτά μετατοπίζονται μεταξύ τους έτσι ώστε πλέον να μην ταυτίζονται. Το άτομο παύει να είναι πλεόν ηλεκτρικά ουδέτερο και αντιστοιχεί σε ηλεκτρικό δίπολο διπολικής ροπής $\overrightarrow{p}=q\overrightarrow{l}$. Έτσι, μακροσκοπικά το υλικό αποκτά μια ιδιότητα που ονομάζεται πόλωση και είναι το διάνυσμα με εξίσωση ορισμού $\overrightarrow{P}=N\overrightarrow{p}$, όπου:

• q η απόλυτη τιμή του φορτίου του κάθε κέντρου (θετικού/αρνητικού)
• $\overrightarrow{l}$ το διάνυσμα της μετατόπισης του κάθε ηλεκτρικού κέντρου
• Ν ο αριθμός των ατόμων από το οποίο αποτελείται το υλικό

Εάν ${\rho }_{\pi }$ είναι η πυκνότητα φορτίων μέσα σε μια κλειστή επιφάνεια μέσα υλικό, τότε το φορτίο που περιέχει αυτή η επιφάνεια δίδεται από την σχέση $Q_{\pi }=-{\oint }_S\overrightarrow{P}\cdot d\overrightarrow{S}$. Αντίστοιχα, εάν ομιλούμε για όγκο τ μέσα στο υλικό, προκύπτει η σχέση $Q_{\pi }=\underset{\tau }{\int }{\rho }_{\pi }d\tau$. Έτσι, σύμφωνα με τον ορισμό του τελεστή ανάδελτα, προκύπτει ότι ${\rho }_{\pi }=-\underset{\tau \to 0}{\lim }(\frac{1}{\tau }{\oint }_S\overrightarrow{P}\cdot d\overrightarrow{s})=-\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{P}$.

Επίπεδος πυκνωτής με διηλεκτρικό ανάμεσα στους οπλισμούς του

Συνεχίζεται....