Ταυτότητες

Αναπτύγματα δυνάμεων διωνύμων

Οι επόμενοι τύποι αποτελούν μερική εφαρμογή του τύπου διωνύμου για $2 \leq n \leq 6$ .

${(\begin{matrix} α + β \end{matrix})}^{2} = α^{2} + 2 α β + β^{2}$

Ανάπτυγμα τετραγώνου αθροίσματος δύο όρων.

${(\begin{matrix} α - β \end{matrix})}^{2} = α^{2} - 2 α β + β^{2}$

Ανάπτυγμα τετραγώνου διαφοράς δύο όρων.

${(\begin{matrix} α + β \end{matrix})}^{3} = α^{3} + 3 α^{2} β + 3 α β^{2} + β^{3}$

Ανάπτυγμα κύβου αθροίσματος δύο όρων.

${(\begin{matrix} α - β \end{matrix})}^{3} = α^{3} - 3 α^{2} β + 3 α β^{2} - β^{3}$

Ανάπτυγμα κύβου διαφοράς δύο όρων.

${(\begin{matrix} α + β \end{matrix})}^{4} = α^{4} + 4 α^{3} β + 6 α^{2} β^{2} + 4 α β^{3} + β^{4}$

Ανάπτυγμα τέταρτης δύναμης αθροίσματος δύο όρων.

${(\begin{matrix} α - β \end{matrix})}^{4} = α^{4} - 4 α^{3} β + 6 α^{2} β^{2} - 4 α β^{3} + β^{4}$

Ανάπτυγμα τέταρτης δύναμης διαφοράς δύο όρων.

${(\begin{matrix} α + β \end{matrix})}^{5} = α^{5} + 5 α^{4} β + 10 α^{3} β^{2} + 10 α^{2} β^{3} + 5 α β^{4} + β^{5}$

Ανάπτυγμα πέμπτης δύναμης αθροίσματος δύο όρων.

${(\begin{matrix} α - β \end{matrix})}^{5} = α^{5} - 5 α^{4} β + 10 α^{3} β^{2} - 10 α^{2} β^{3} + 5 α β^{4} - β^{5}$

Ανάπτυγμα πέμπτης δύναμης διαφοράς δύο όρων.

${(\begin{matrix} α + β \end{matrix})}^{6} = α^{6} + 6 α^{5} β + 15 α^{4} β^{2} + 20 α^{3} β^{3} + 15 α^{2} β^{4} + 6 α β^{5} + β^{6}$

Ανάπτυγμα έκτης δύναμης αθροίσματος δύο όρων.

${(\begin{matrix} α - β \end{matrix})}^{6} = α^{6} - 6 α^{5} β + 15 α^{4} β^{2} - 20 α^{3} β^{3} + 15 α^{2} β^{4} - 6 α β^{5} + β^{6}$

Ανάπτυγμα έκτης δύναμης διαφοράς δύο όρων.

Αρχείο:Треугольник Паскаля.svg

Οι συντελεστές μπορούν να υπολογιστούν από το τρίγωνο του Πασκάλ. Στην παραπάνω εικόνα η δύναμη είναι στην αριστερή στήλη, ενώ οι αντίστοιχοι συντελεστές βρίσκονται στην ίδια γραμμή και στη σειρά συνήθης ανάπτυξης του διωνύμου.

Παραγοντοποιήσεις

Παραγοντοποιήσεις αθροισμάτων και διαφορών δυνάμεων

Παραγοντοποίηση διαφοράς τετραγώνων.

$α^{2} - β^{2} = (\begin{matrix} α + β \end{matrix}) (\begin{matrix} α - β \end{matrix})$

Παραγοντοποίηση διαφοράς κύβων.

$α^{3} - β^{3} = (\begin{matrix} α - β \end{matrix}) (\begin{matrix} α^{2} + α β + β^{2} \end{matrix})$

Παραγοντοποίηση αθροίσματος κύβων.

$α^{3} + β^{3} = (\begin{matrix} α + β \end{matrix}) (\begin{matrix} α^{2} - α β + β^{2} \end{matrix})$

Παραγοντοποίηση διαφοράς τέταρτης δύναμης.

$α^{4} - β^{4} = (\begin{matrix} α - β \end{matrix}) (\begin{matrix} α + β \end{matrix}) (\begin{matrix} α^{2} + β^{2} \end{matrix})$

Παραγοντοποίηση αθροίσματος τετάρτης δύναμης

$α^{4} + β^{4} = (α^{2} - \sqrt{2} α β + β^{2}) (α^{2} + \sqrt{2} α β + β^{2})$

Παραγοντοποίηση διαφοράς πέμπτης δύναμης.

$α^{5} - β^{5} = (\begin{matrix} α - β \end{matrix}) (\begin{matrix} α^{4} + α^{3} β + α^{2} β^{2} + α β^{3} + β^{4} \end{matrix})$

Παραγοντοποίηση αθροίσματος πέμπτης δύναμης.

$α^{5} + β^{5} = (\begin{matrix} α + β \end{matrix}) (\begin{matrix} α^{4} - α^{3} β + α^{2} β^{2} - α β^{3} + β^{4} \end{matrix})$

Παραγοντοποίηση διαφοράς έκτης δύναμης.

$α^{6} - β^{6} = (\begin{matrix} α - β \end{matrix}) (\begin{matrix} α + β \end{matrix}) (\begin{matrix} α^{2} + α β + β^{2} \end{matrix}) (\begin{matrix} α^{2} - α β + β^{2} \end{matrix})$

Γενίκευση παραγοντοποιήσεων αθροισμάτων και διαφορών δυνάμεων

Οι παρακάτω τύποι ισχύουν για $n \in ℕ^{*} = ℕ - {\begin{matrix} 0 \end{matrix}}$

$α^{2 n + 1} - β^{2 n + 1} = (\begin{matrix} α - β \end{matrix}) \sum_{i = 0}^{2 n} α^{2 n - i} β^{i} = (\begin{matrix} α - β \end{matrix}) \prod_{i = 1}^{n} (\begin{matrix} α^{2} - 2 α β σ υ ν \frac{2 i π}{2 n + 1} + β^{2} \end{matrix})$

$α^{2 n + 1} + β^{2 n + 1} = (\begin{matrix} α + β \end{matrix}) \sum_{i = 0}^{2 n} (- 1)^{i} α^{2 n - i} β^{i} = (\begin{matrix} α + β \end{matrix}) \prod_{i = 1}^{n} (\begin{matrix} α^{2} + 2 α β σ υ ν \frac{2 i π}{2 n + 1} + β^{2} \end{matrix})$

$α^{2 n} - β^{2 n} = (\begin{matrix} α + β \end{matrix}) (\begin{matrix} α - β \end{matrix}) \sum_{i = 0}^{n} α^{n - 1 - i} β^{i} \sum_{i = 0}^{n} (- 1)^{i} α^{n - 1 - i} β^{i} = (\begin{matrix} α + β \end{matrix}) (\begin{matrix} α - β \end{matrix}) \prod_{i = 1}^{n - 1} (\begin{matrix} α^{2} - 2 α β σ υ ν \frac{i π}{n} + β^{2} \end{matrix})$

$α^{2 n} + β^{2 n} = \prod_{i = 1}^{n} (\begin{matrix} α^{2} + 2 α β σ υ ν \frac{(\begin{matrix} 2 i - 1 \end{matrix}) π}{2 n} + β^{2} \end{matrix})$

Άλλες παραγοντοποιήσεις

$α^{4} + α^{2} β^{2} + β^{4} = (\begin{matrix} α^{2} + α β + β^{2} \end{matrix}) (\begin{matrix} α^{2} - α β + β^{2} \end{matrix})$

$α^{4} + 4 β^{4} = (\begin{matrix} α^{2} + 2 α β + 2 β^{2} \end{matrix}) (\begin{matrix} α^{2} - 2 α β + 2 β^{2} \end{matrix})$

$α^{2} + β^{2} = (α + β i) (α - β i),$ όπου $i$ η φανταστική μονάδα (imaginary unit). Είναι φανερό ότι το συγκεκριμένο άθροισμα τετραγώνων παραγοντοποιείται μόνο στο σύνολο $C$ των μιγαδικών αριθμών.

(Συνεχίζεται...)
Επιστροφή στο Τμήμα Μαθηματικών

Ταυτότητες

Περιεχόμενα

Αναπτύγματα δυνάμεων διωνύμων

Παραγοντοποιήσεις

Παραγοντοποιήσεις αθροισμάτων και διαφορών δυνάμεων

Γενίκευση παραγοντοποιήσεων αθροισμάτων και διαφορών δυνάμεων

Άλλες παραγοντοποιήσεις

Μενού πλοήγησης

Ταυτότητες

Αναπτύγματα δυνάμεων διωνύμων

Παραγοντοποιήσεις

Παραγοντοποιήσεις αθροισμάτων και διαφορών δυνάμεων

Γενίκευση παραγοντοποιήσεων αθροισμάτων και διαφορών δυνάμεων

Άλλες παραγοντοποιήσεις

Μενού πλοήγησης

Αναζήτηση