Ο τύπος του Διωνύμου και οι Διωνυμικοί Συντελεστές

Το παραγοντικό

Για $n \in ℕ^{*} = ℕ - {\begin{matrix} 0 \end{matrix}}$ ορίζεται:

$n! = \prod_{i = 1}^{n} i$ .

Για n = 0 ορίζεται:

$0! = 1$ .

Ο τύπος του διωνύμου

Για $n \in ℕ$ είναι:

${(\begin{matrix} α + β \end{matrix})}^{n} = \sum_{i = 0}^{n} \frac{n!}{i! (\begin{matrix} n - i \end{matrix})!} α^{n - i} β^{i}$

Διωνυμικοί συντελεστές

Για $n \in ℕ^{*} = ℕ - {\begin{matrix} 0 \end{matrix}}$ και $\forall i \in {\begin{matrix} 1, 2, 3 . . . n \end{matrix}} \subset ℕ^{*}$ ορίζονται οι διωνυμικοί συντελεστές ως εξής:

$(\binom{n}{i}) = \frac{n!}{i! (\begin{matrix} n - i \end{matrix})!} = (\binom{n}{n - i})$

Ακόμη ορίζεται:

$(\binom{n}{0}) = 1$ και $(\binom{n}{1}) = n$

Ιδιότητες των διωνυμικών συντελεστών

$(\binom{n}{i}) + (\binom{n}{i + 1}) = (\binom{n + 1}{i + 1})$

Η σχέση δίνει το τρίγωνο του Pascal.

$\sum_{i = 0}^{n} (\binom{n}{i}) = 2^{n}$

$\sum_{i = 0}^{n} {(\begin{matrix} - 1 \end{matrix})}^{i} (\binom{n}{i}) = 0$

$\sum_{i = 0}^{m} (\binom{n + i}{n}) = (\binom{n + m + 1}{n + 1}), m \in ℕ$

$\sum_{i = 0}^{k} (\binom{n}{2 i}) = 2^{n - 1}, k = [\begin{matrix} \frac{n}{2} \end{matrix}]$

$\sum_{i = 0}^{k} (\binom{n}{2 i + 1}) = 2^{n - 1}, k = [\begin{matrix} \frac{n - 1}{2} \end{matrix}]$

$\sum_{i = 0}^{n} {(\binom{n}{i})}^{2} = (\binom{2 n}{n})$

$\sum_{i = 0}^{p} (\binom{m}{i}) (\binom{n}{p - i}) = (\binom{m + n}{p}), m \in ℕ, p \leq m i n {\begin{matrix} m, n \end{matrix}} \land p \in ℕ$

$\sum_{i = 1}^{n} i (\binom{n}{i}) = n 2^{n - 1}$

$\sum_{i = 1}^{n} {(\begin{matrix} - 1 \end{matrix})}^{i + 1} i (\binom{n}{i}) = 0$

Επέκταση για δυνάμεις πολυωνύμων

${(\begin{matrix} \begin{matrix} p \\ \sum \\ i = 1 \end{matrix} α_{i} \end{matrix})}^{n} = \sum_{i = 1}^{p} \frac{n!}{\begin{matrix} p \\ \prod \\ i = 1 \end{matrix} n_{i}!} \prod_{i = 1}^{p} α_{i}^{n_{i}}, p \in ℕ^{*}, n_{i} \in ℕ^{*} \land \sum_{i = 1}^{p} n_{i} = n$

(Συνεχίζεται...)
Επιστροφή στο Τμήμα Μαθηματικών

Ο τύπος του Διωνύμου και οι Διωνυμικοί Συντελεστές

Περιεχόμενα

Το παραγοντικό

Ο τύπος του διωνύμου

Διωνυμικοί συντελεστές

Ιδιότητες των διωνυμικών συντελεστών

Επέκταση για δυνάμεις πολυωνύμων

Μενού πλοήγησης

Ο τύπος του Διωνύμου και οι Διωνυμικοί Συντελεστές

Το παραγοντικό

Ο τύπος του διωνύμου

Διωνυμικοί συντελεστές

Ιδιότητες των διωνυμικών συντελεστών

Επέκταση για δυνάμεις πολυωνύμων

Μενού πλοήγησης

Αναζήτηση