Μήτρες

Επιστροφή σε Γραμμική Άλγεβρα.

Ορισμοί

Κάθε μήτρα είναι μια n-άδα.

Συνήθως, εννοείται μήτρα τύπου ($ℝ$ⁿ)^m.

Η μήτρα τύπου ($ℝ$ⁿ)^m θα είναι πλέον γνωστές ως πίνακες. Ο πίνακας είναι μια ορθογώνια διάταξη αριθμών τοποθετημένων σε γραμμές και στήλες. Για παράδειγμα τα παρακάτω είναι πίνακες:

$\left[\begin{array}{cc}1& 5\\ -3& 4\end{array}\right]$, $\left[\begin{array}{cccc}10& 8& -1& 9\\ -6& 7& 2& -3\end{array}\right]$, $\left[\begin{array}{c}5\\ 4\\ 2\end{array}\right]$, $\left[\begin{array}{ccc}-1& 4& 3\end{array}\right]$

Ο πίνακες χαρακτηρίζονται από το πλήθος των γραμμών και των στηλών ως n$\times$m, όπου n το πλήθος των γραμμών και m το πλήθος των στηλών.

Έτσι, οι παραπάνω πίνακες είναι 2$\times$2, 2$\times$4, 3$\times$1, 1$\times$3 αντίστοιχα.

Ένας πίνακας συμβολίζεται ως (a_ij), ενώ το στοιχείο της i-στής γραμμής και j-στής στήλης συμβολίζεται με a_ij.

Έτσι, αν (a_ij),(b_ij),(c_ij),(d_ij) οι παραπάνω πίνακες είναι:

a₁₂=5

b₂₄=-3

c₁₁=5

d₃₁=3

Έτσι, ο πρώτος πίνακας είναι τετραγωνικός.

Παράδειγμα μηδενικού: $\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$

Παράδειγμα αραιού πίνακα: $\left[\begin{array}{cccc}10& 0& 0& 0\\ 0& 1& 3& 0\\ 4& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$

Διαγώνιος και τριγωνικοί πίνακες

Για παράδειγμα η διαγώνιος του $\left[\begin{array}{cc}1& 5\\ -3& 4\end{array}\right]$ παραπάνω είναι τα στοιχεία 1 και 4.

Για παράδειγμα η δευτερεύουσα διαγώνιος του $\left[\begin{array}{cc}1& 5\\ -3& 4\end{array}\right]$ παραπάνω είναι τα στοιχεία 5 και -3.

Παράδειγμα διαγώνιου πίνακα: $\left[\begin{array}{ccc}10& 0& 0\\ 0& 7& 0\\ 0& 0& 8\end{array}\right]$

Παράδειγμα άνω τριγωνικών: $\left[\begin{array}{ccc}10& 8& -1\\ 0& 7& -3\\ 0& 0& 8\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{ccc}0& 0& -1\\ 0& 7& -3\\ 0& 0& 8\end{array}\right]$

Παράδειγμα κάτω τριγωνικού: $\left[\begin{array}{ccc}10& 0& 0\\ -6& 0& 0\\ 0& 1& 8\end{array}\right]$