Ιδιοδιανύσματα και ιδιοτιμές, διαγωνιοποίηση

Έσωτ ο $\underline{A}$ $n \times m$ και ο $\underline{x}$ $s \times t$ . Τότε, ισχύει:

Για να γίνει ο πολλαπλασιασμός πινάκων πρέπει m=s.
Από την ισότητα $n \times t = s \times t$ , άρα n=s.
Άρα n=m, δηλαδή ο πίνακας $\underline{A}$ είναι τετραγωνικός.

Έστω ότι ο πίνακας $\underline{x}$ είναι διάνυσμα, δηλαδή t=1.

Σημειώστε ότι η $A x = l x$ είναι μη γραμμική εξίσωση.Το $l$ πολλαπλασιάζει το $x$ . Aν μπορούμε να ανακαλύψουμε το $l$ τότε η εξίσωση θα ήταν γραμμική ως προς $x$ Πράγματι τότε θα γράφαμε $l I x$ αντί για $l x$ και θα φέρναμε αυτόν τον όρο στην αριστερή πλευρά:

$(A - l) x = 0$

Το κλειδί για τη λύση του προβλήματος είναι το εξής:

Το διάνυσμα $\underline{x}$ περιέχεται στον μηδενοχώρο του $A - l x$

Ο αριθμός $l$ είναι τέτοιος ώστε το $A - l x$ να έχει μηδενοχώρο

Βέβαια, κάθε πίνακας έχει μηδενόχωρο. Είναι αστείο να πούμε κάτι διαφορετικό, καταλαβαίνετε όμως τι εννοούμε. Εννοούμε μη μηδενικό ιδιοδιάνυσμα $x$ . Το διάνυσμα $x = 0$ ικανοποιεί πάντοτε την $A x = l x$ και περιέχεται πάντοτε στο μηδενόχωρο, για τη λύση όμως διαφορικών εξισώσεων είναι άχρηστο. Στόχος μας είναι να συναρμολογήσουμε τη λύση $u (t)$ χρησιμοποιώντας εκθετικές $e^{l t} x$ , και μας ενδιαφέρουν μόνον εκείνες οι ειδικές τιμές του $l$ , για τις οποίες υπάρχει ένα μη μηδενικό ιδιοδιάνυσμα $x$ . Για να έχει κάποια χρησιμότητα ο μηδενοχώρος του $A - l x$ , πρέπει να περιέχει διανύσματα διαφορετικά του μηδενός. Με λίγα λόγια, ο $A - l x$ πρέπει να είναι ιδιόμορφος.

Η ορίζουσα δίνει ένα αποτελεσματικό κριτήριο γι αυτό.

αριθμός είναι ιδιοτιμή του Α όταν και μόνον όταν ισχύει

$d e t (A - l I) = 0$

Αυτή είναι η χαρακτηριστική εξίσωση και σε κάθε λύση της $l$ αντιστοιχεί ένα ιδιοδιάνυσμα $x$ :

$(A - l I) x = 0$ ή $A x = l x$

Έστω ότι $A = (\begin{matrix} 4 & - 5 \\ 2 & - 3 \end{matrix})$ άρα ο $(A - l x) = (\begin{matrix} 4 - l & - 5 \\ 2 & - 3 - l \end{matrix})$

και η ορίζουσα $d e t (A - l x) = d e t (\begin{matrix} 4 - l & - 5 \\ 2 & - 3 - l \end{matrix}) = (4 - l) (- 3 - l) + 10 = l^{2} - l - 2$ αυτό είναι το χαρακτηριστικό πολυώνυμο και οι ιδιοτιμές είναι οι λύσεις του $l^{2} - l - 2 = 0$ .

$l = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{2} \Rightarrow l = - 1$ ή $l = 2$

Υπάρχουν δύο ιδιοτιμές, διότι κάθε τετραγωνική εξίσωση έχει δύο ρίζες Κάθε 2 επί 2 πίνακας $A - l x$ έχει στην ορίζουσά του το $l^{2}$ (αλλά όχι μεγαλύτερη δύναμή του). Κάθε μία απ' αυτές τις ειδικές τιμές, $l = - 1$ και $l = 2$ , οδηγεί σε μια λύση του $(A - l) x = 0$ Ένας πίνακας με μηδενική ορίζουσα είναι ιδιόμορφος και επομένως ο μηδενόχωρός του περιέχει ένα μη μηδενικό διάνυσμα $x$ . Στην πραγματικότητα ο μηδενόχωρος περιέχει μια ολόκληρη ευθεία από ιδιοδιανύσματα: είναι ένας υποχώρος!

για $l = - 1$ ,

$(A - l_{1} I) x = (\begin{matrix} 5 & - 5 \\ 2 & - 2 \end{matrix}) (\binom{y}{z}) = (\binom{0}{0})$ άρα το πρώτο ιδιοδιάνυσμα είναι οποιοδήποτε πολλαπλάσιο του $x_{1} = (\binom{1}{1})$

για $l = 2$

$(A - l_{2} I) x = (\begin{matrix} 2 & - 5 \\ 2 & - 5 \end{matrix}) (\binom{y}{z}) = (\binom{0}{0})$ άρα το πρώτο ιδιοδιάνυσμα είναι οποιοδήποτε πολλαπλάσιο του $x_{2} = (\binom{5}{2})$

μέθοδος υπολογισμού ιδιοτιμής :

Υπολόγισε την ορίζουσα του $A - l I$ . Όταν αφαιρεθεί το $l$ από τα διαγώνια στοιχεία, η ορίζουσα αυτή είναι ένα πολυώνυμο βαθμού $n$ .
Βρες τις ρίζες αυτού του πολυωνύμου. Οι $n$ ρίζες είναι οι ιδιοτιμές.
Για κάθε μία ιδιοτιμή,λύσε το σύστημα $(A - l I) x = 0$ . Επειδή η ορίζουσα είναι μηδέν, υπάρχουν λύσεις διαφορετικές της $x = 0$ . Αυτές είναι τα ιδιοδιανύσματα.

Ιδιοδιανύσματα και ιδιοτιμές, διαγωνιοποίηση

Μενού πλοήγησης

Αναζήτηση