Εμβαδική ταχύτητα

Στην Κλασσική μηχανική, η εμβαδική ταχύτητα (areal velocity, sectorial ή sector velocity) είναι ένα διανυσματικό μέγεθος που ισούται αριθμητικά με το μέτρο της ειδικής σχετικής γωνιακής ορμής του σώματος πολλαπλασιασμένο με 1/2. Εκφράζει πόσο γρήγορα διαγράφει ένα σώμα εμβαδόν (σύμφωνα με ένα σημείο αναφοράς Ο) όταν κινείται πάνω σε μία καμπύλη.$$\dot{\overrightarrow{A}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{h}$$Στο επόμενο σχήμα, θεωρήστε πως το υλικό σημείο (Σ) κινείται κατά μήκος της μαύρης καμπύλης. Θ και Θ' είναι δύο θέσεις που προσδιορίζονται από την διάνυσμα θέσης σύμφωνα με το Ο. Το εμβαδόν που διέγραψε το σώμα κατά την διάρκεια κίνησης του από το Θ στο Θ' είναι η χρωματισμένη περιοχή στο σχήμα. Η εμβαδική ταχύτητα ισούται αριθμητικά με αυτήν την διαγραμμένη περιοχή που εκτέλεσε σε χρονικό διάστημα Δt διαιρεμένη δια αυτό το χρονικό διάστημα στο όριο όπου το Δt << 1.

Εμβαδική ταχύτητα υλικού σημείου.

1]Προσέγγιση χωρίς συστήμα συντεταγμένων

Όπως αναφέραμε και παραπάνω, θεωρούμε υλικό σημείο που προσδιορίζεται από διανυσματική συνάρτηση r και κινείται στο xy επίπεδο. Έστω Θ και Θ' δύο θέσεις στην τροχιά του τις χρονικές στιγμές t και t + dt.

Aerial Velocity

Το εμβαδόν που καλύπτει η ακτίνα r στο χρονικό διάστημα dt είναι ίσο κατά προσέγγιση με

$$\mathrm{\Delta }A=\frac{1}{2}|\overrightarrow{r}\times {\overrightarrow{r}}^{\prime }|$$

Εάν θέσουμε r' = r + Δr

η σχέση γίνεται:$$\mathrm{\Delta }A=\frac{1}{2}|\overrightarrow{r}\times (\overrightarrow{r}+\overrightarrow{\mathrm{\Delta }}r)|=\frac{1}{2}|\overrightarrow{r}\times \overrightarrow{r}+\overrightarrow{r}\times \mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}|$$Ισχύει όμως ό,τι $$\overrightarrow{r}\upuparrows \overrightarrow{r}\iff \overrightarrow{r}\times \overrightarrow{r}=\overrightarrow{0}$$Επομένως:$$\mathrm{\Delta }A=\frac{1}{2}|\overrightarrow{r}\times \mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}|$$Εαν διαιρέσουμε με $\mathrm{\Delta }t$ και πάρουμε το όριο $\mathrm{\Delta }t\to 0$ γίνεται:

$$\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{\Delta }A}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{dA}{dt}=\frac{1}{2}|\overrightarrow{r}\times \overrightarrow{v}|=\dot{A}(1)$$και σε διανυσματική μορφή:$$\dot{\overrightarrow{A}}=\frac{1}{2}[\overrightarrow{r}\times \overrightarrow{v}]$$Όπως παρατηρείται εύκολα, ο τύπος αυτός είναι ανεξάρτητος από σύστημα συντεταγμένων.

2]Καρτεσιανές συντεταγμένες

Σε καρτεσιανές συντεταγμένες συντεταγμένες έχουμε την διανυσματική συνάρτηση θέσης r.

$$\overrightarrow{r}=x(t)\hat{i}+y(t)\hat{j},(z=0)$$και η ταχύτητα$$\dot{\overrightarrow{r}}=\dot{x}(t)\hat{i}+\dot{y}(t)\hat{j}$$

Επομένως το εξωτερικό γινόμενο είναι:$$\overrightarrow{r}\times \overrightarrow{v}=\left|\begin{array}{ccc}\hat{i}& \hat{j}& \hat{k}\\ x(t)& y(t)& 0\\ \dot{x}(t)& \dot{y}(t)& 0\end{array}\right|\begin{array}{cc}\hat{i}& \hat{j}\\ x(t)& y(t)\\ \dot{x}(t)& \dot{y}(t)\end{array}$$Έτσι γίνεται:$$\overrightarrow{r}\times \overrightarrow{v}=\left|\begin{array}{cc}y(t)& 0\\ \dot{y}(t)& 0\end{array}\right|\hat{i}-\left|\begin{array}{cc}x(t)& 0\\ \dot{x}(t)& 0\end{array}\right|\hat{j}+\left|\begin{array}{cc}x(t)& y(t)\\ \dot{x}(t)& \dot{y}(t)\end{array}\right|\hat{k}$$ Από όπου παίρνουμε:$$\overrightarrow{r}\times \overrightarrow{v}=(x\dot{y}-\dot{x}y)\hat{k}\iff |\overrightarrow{r}\times \overrightarrow{v}|=x\dot{y}-\dot{x}y$$

Έτσι, η σχέση (1) γίνεται:$$\dot{A}=\frac{1}{2}(x\dot{y}-\dot{x}y)$$και σε διανυσματική μορφή$$\dot{\overrightarrow{A}}=\frac{1}{2}(x\dot{y}-\dot{x}y)\hat{k}$$

3]Πολικές συντεταγμένες

Στις πολικές συντεταγμένες η διανυσματική συνάρτηση r είναι της μορφής$$\overrightarrow{r}=r{\hat{e}}_r$$και η ταχύτητα$$\overrightarrow{v}=\dot{r}{\hat{e}}_r+r\dot{\theta }{\hat{e}}_{\theta }$$Οπότε:$$\overrightarrow{r}\times \overrightarrow{v}=r{\hat{e}}_r\times (\dot{r}{\hat{e}}_r+r\dot{\theta }{\hat{e}}_{\theta })=\overrightarrow{0}+r^2\dot{\theta }({\hat{e}}_r\times {\hat{e}}_{\theta })\Rightarrow |\overrightarrow{r}\times \overrightarrow{v}|=r^2\theta$$Χρησιμοποιώντας αυτήν την σχέση στην (1) έχουμε:$$\dot{A}=\frac{1}{2}{r}^2\dot{\theta }$$και σε διανυσματική μορφή.$$\dot{\overrightarrow{A}}=\frac{1}{2}{r}^2\dot{\theta }({\hat{e}}_r\times {\hat{e}}_{\theta })$$Πηγές: "Θεωρητική Μηχανική, Τόμος Α', Νευτώνεια Μηχανική(τρίτη έκδοση)" , Ιωάννης Δ. Χατζηδημητρίου, Εκδόσεις Γιαχούδη Θεσσαλονίκη 2000