Πράξεις με μήτρες

Επιστροφή σε Γραμμική Άλγεβρα.

Πρόσθεση και κλιμάκωση

Για παράδειγμα: $\left[\begin{array}{ccc}0& 5& 0\\ 8& -4& 3\\ 6& 7& -1\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ccc}-4& 3& 2\\ 10& 6& -7\\ 8& 1& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}-4& 8& 2\\ 18& 2& -4\\ 14& 8& -1\end{array}\right]$

Το άθροισμα οποιουδήποτε πίνακα με τον μηδενικό είναι ο ίδιος ο πίνακας. Για παράδειγμα: $\left[\begin{array}{ccc}0& 5& 0\\ 8& -4& 3\\ 6& 7& -1\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}0& 5& 0\\ 8& -4& 3\\ 6& 7& -1\end{array}\right]$

Για παράδειγμα: $5\left[\begin{array}{ccc}0& 5& 0\\ 8& -4& 3\\ 6& 7& -1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}0& 25& 0\\ 40& -20& 15\\ 30& 35& -5\end{array}\right]$

Γινόμενο πινάκων

Πρακτικά για την εύρεση του γινομένου, για κάθε στοιχείο:

• Πολλαπλασιάζουμε την αντίστοιχη γραμμή του πρώτου με την αντίστοιχη στήλη του δεύτερου.
• Μετά αθροίζουμε όλα τα γινομενα.

Το άθροισμα είναι το στοιχείο που υπολογίζουμε.

Για παράδειγμα: $\left[\begin{array}{cc}0& 5\\ 0& 8\\ -4& 1\\ 7& -1\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{ccc}-4& 3& 0\\ 0& 2& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}0& 10& 5\\ 0& 16& 8\\ 16& -10& 1\\ -28& 19& -1\end{array}\right]$

Για τον υπολογισμό του στοιχείου -10 του αποτελέσματος τα βήματα είναι τα εξής.

• Το στοιχείο είναι στην 3η γραμμή, 2η στήλη.
• Πολλαπλασιάζουμε την 3η γραμμή του πρώτου πίνακα $\left[\begin{array}{cc}-4& 1\end{array}\right]$ με τη 2η στήλη του δεύτερου πίνακα $\left[\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right]$ και είναι: $(-4\times 3,1\times 2)=(-12,2)$
• Προσθέτουμε τους όρους: -12+2=-10

Άρα το υπολογισταίο στοιχείο ισούται με -10.

Προσοχή! Ο πολλαπλασιασμός πινάκων δεν είναι αντιμεταθετικός, συνήθως $A\times B\ne B\times A$.

Το γινόμενο οποιουδήποτε με τον μηδενικό πίνακα, είναι μηδενικός πίνακας.

Για παράδειγμα: $\left[\begin{array}{ccc}0& 5& 0\\ 8& -4& 3\\ 6& 7& -1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$

Παράδειγμα μοναδιαίου: $\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$

Το γινόμενο του μοναδιαίου πίνακα με οποιονδήποτε άλλο πίνακα είναι ο ίδιος ο πίνακας. Για παράδειγμα: $\left[\begin{array}{ccc}0& 5& 0\\ 8& -4& 3\\ 6& 7& -1\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}0& 5& 0\\ 8& -4& 3\\ 6& 7& -1\end{array}\right]$

Ισχύει: $A{A}^{-1}=A^{-1}A=I$

Για παράδειγμα ο αντίστροφος του $A=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ -3& 2\end{array}\right]$ είναι ο $B=\left[\begin{array}{cc}2/3& -1/3\\ 1& 0\end{array}\right]$ γιατί:

$AB=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ -3& 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}2/3& -1/3\\ 1& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$

Επειδή ο πολλαπλασιασμός δεν είναι αντιμεταθετικός δεν ορίζεται διαίρεση πινάκων.

Ερμιτιανός

Πρακτικά ο ανάστροφος πίνακας είναι η περιστροφή του πίνακα κατά 180° γύρω από την κύρια διαγώνιό του. Για παράδειγμα $(\left[\begin{array}{cc}0& 5\\ 0& 8\\ -4& 1\\ 7& -1\end{array}\right]{)}^T=\left[\begin{array}{cccc}0& 0& -4& 7\\ 5& 8& 1& -1\end{array}\right]$

Αν ο πίνακας έχει ως στοιχεία πραγματικούς αριθμούς, τότε ο ερμιτιανός ταυτίζεται με τον ανάστροφο.

Ίχνος και ορίζουσα

Για παράδειγμα: $tr(\left[\begin{array}{cc}1& 5\\ -3& 4\end{array}\right])=1+4=5$

Ο υπολογισμός της ορίζουσας γίνεται πρακτικά ως εξής:

• Επιλέγεται μια πλευρά του πίνακα. Λέγεται ότι η ορίζουσα ανοίγεται ως προς την πλευρά.
• Σε κάθε στοιχείο αντιστοιχίζεται πρόσημα εναλλάξ. Το πρώτο στοιχείο λαμβάνει το πρόσημο +.
• Για κάθε στοιχείο της πλευράς:
  • Από τον αρχικό παραλείπεται η πλευρά. Επιπλέον, υπάρχει μια στήλη ή γραμμή, κάθετη στην πλευρά στην οποία βρίσκεται το στοιχείο. Παραλείπεται και αυτή.
  • Τα κομμάτια που παραμένουν σχηματίζουν έναν υποπίνακα. Υπολογίζεται η ορίζουσα του υποπίνακα.
  • Η ορίζουσα πολλαπλασιάζεται με το πρόσημο του στοιχείου.
• Αθροίζονται όλα τα γινόμενα.

Για παράδειγμα: $\left|\begin{array}{cc}1& 5\\ -3& 4\end{array}\right|=1\times 4-5\times (-3)=4+15=19$